유한, 가산, 비가산 집합 · Finite, Countable, Uncountable Sets
$A$와 $B$가 집합이라 하자. $A$에서 $B$로의 1-1 사상이 존재하면 $A$와 $B$가 같은 기수(cardinality)를 가진다고 하고, $A$와 $B$가 대등(equivalent)하다고 한다. $A \sim B$로 표기한다.
다음 세 성질이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다:
(i) 반사적: $A \sim A$
(ii) 대칭적: $A \sim B$이면 $B \sim A$
(iii) 추이적: $A \sim B$이고 $B \sim C$이면 $A \sim C$
두 집합의 크기를 비교하는 개념. 일대일 대응이 존재하면 같은 크기로 본다.
Let $A$ and $B$ be sets. If there exists a 1-1 mapping from $A$ onto $B$, we say $A$ and $B$ have the same cardinal number (or cardinality), or briefly, $A$ and $B$ are equivalent. We write $A \sim B$.
(i) Reflexive: $A \sim A$
(ii) Symmetric: If $A \sim B$ then $B \sim A$
(iii) Transitive: If $A \sim B$ and $B \sim C$ then $A \sim C$
$\mathbb{N}$을 자연수 전체의 집합이라 하자. $J_n$을 원소가 $1, 2, \ldots, n$인 집합이라 하자. 임의의 집합 $A$에 대해:
(a) 어떤 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $A \sim J_n$이거나 $A = \emptyset$이면 $A$는 유한(finite)
(b) $A$가 유한이 아니면 무한(infinite)
(c) $A \sim \mathbb{N}$이면 가산(countable)
(d) $A$가 유한도 아니고 가산도 아니면 비가산(uncountable)
(e) $A$가 유한이거나 가산이면 기껏해야 가산(at most countable)
자연수와 일대일 대응시킬 수 있으면 가산, 그조차 불가능하면 비가산이다. 자연수, 정수, 유리수는 가산이고, 실수는 비가산이다.
Let $\mathbb{N}$ be the natural number system. By $J_n$ we denote the set whose elements are $1,2,\ldots,n$. For any set $A$:
(a) $A$ is finite if $A \sim J_n$ for some $n \in \mathbb{N}$ or $A = \emptyset$
(b) $A$ is infinite if $A$ is not finite
(c) $A$ is countable if $A \sim \mathbb{N}$
(d) $A$ is uncountable if $A$ is neither finite nor countable
(e) $A$ is at most countable if $A$ is finite or countable
가산 집합의 모든 무한 부분집합은 가산이다.
$A$를 가산 집합, $E \subset A$를 무한 부분집합이라 하자. $A$의 원소를 수열 $(x_n)$으로 나열한다.
$n_1$을 $x_{n_1} \in E$인 가장 작은 양의 정수라 하자. 귀납적으로 $k = 2,3,\ldots$에 대해 $n_k$를 $n_{k-1}$보다 크고 $x_{n_k} \in E$인 가장 작은 정수로 택한다.
$E$가 무한이므로 이 과정은 모든 $k$에 대해 가능하다. $f(k) = x_{n_k}$로 놓으면 $f$는 $\mathbb{N}$에서 $E$로의 1-1 대응이다.
가산 집합에서 무한히 많은 원소를 골라도 여전히 자연수로 번호를 매길 수 있다. 무한에도 '크기'가 다를 수 있다는 이야기의 출발점이다.
Every infinite subset of a countable set is countable.
Let $A$ be countable, $E \subset A$ infinite. Arrange elements of $A$ in a sequence $(x_n)$. Let $n_1$ be the smallest positive integer with $x_{n_1} \in E$. Inductively, let $n_k$ be the smallest integer greater than $n_{k-1}$ with $x_{n_k} \in E$. This is possible for all $k$ since $E$ is infinite. By putting $f(k) = x_{n_k}$, we obtain a 1-1 correspondence between $\mathbb{N}$ and $E$. $\square$
$\{E_n\}$을 가산 집합들의 수열이라 하면, $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$은 가산이다.
각 $E_n$이 가산이므로 수열로 나열할 수 있다: $E_n = \{x_{n,k}\}$ ($k = 1,2,3,\ldots$).
대각선 논법으로 모든 원소를 하나의 수열로 나열할 수 있다. 공통 원소가 있을 수 있으므로, 부분집합 $T \sim \mathbb{N}$가 존재하여 $\bigcup E_n$과 대응된다.
$E_0$가 무한이므로 $\bigcup E_n$도 무한이고, Thm 2.13에 의해 가산이다.
가산 개의 가산 집합을 합쳐도 여전히 가산이다. 대각선 배열로 모든 원소를 하나의 수열로 나열할 수 있다.
Let $\{E_n\}$ be a sequence of countable sets. Then $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$ is countable.
Since each $E_n$ is countable, arrange as $E_n = \{x_{n,k}\}$. We can count all elements using the diagonal arrangement. There exists $T \sim \mathbb{N}$ such that $\bigcup E_n$ corresponds to $T$. Since $E_0$ is infinite, $\bigcup E_n$ is infinite, hence countable by Thm 2.13. $\square$
$A$를 기껏해야 가산인 집합이라 하자. 각 $\alpha \in A$에 대해 $B_\alpha$가 기껏해야 가산이면, $\bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha$는 기껏해야 가산이다.
기껏해야 가산 개의 기껏해야 가산 집합을 합쳐도 기껏해야 가산이다.
Let $A$ be at most countable. Assume that for each $\alpha \in A$, there exists an at most countable set $B_\alpha$. Then $\bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha$ is at most countable.
$A$를 가산 집합이라 하고, $B_n$을 모든 $n$-tuple $(a_1, \ldots, a_n)$ ($a_k \in A$, $k = 1, \ldots, n$, $n \in \mathbb{N}$)의 집합이라 하자. 그러면 $B_n$은 가산이다.
귀납법. $B_1 = A$는 가산이다. $B_{n-1}$이 가산이라고 가정하자.
$B_n$의 원소는 $(b, a)$ ($b \in B_{n-1}$, $a \in A$) 형태이다. 따라서 $B_n = \bigcup_{a \in A} \{(b,a) : b \in B_{n-1}\}$이므로 가산 집합들의 가산 합집합이다.
가산 집합에서 유한 개를 뽑아 순서를 매긴 모든 경우의 수는 여전히 가산이다.
Let $A$ be a countable set and $B_n$ be the set of all $n$-tuples $(a_1,\ldots,a_n)$ where $a_k \in A$ for all $k = 1,\ldots,n$. Then $B_n$ is countable.
By induction. $B_1 = A$ is countable. Assume $B_{n-1}$ countable. Elements of $B_n$ are $(b, a)$ where $b \in B_{n-1}$, $a \in A$. So $B_n = \bigcup_{a \in A} \{(b,a) : b \in B_{n-1}\}$, a countable union of countable sets. $\square$
$\mathbb{Q}$는 가산이다.
$\mathbb{Z}$는 가산이다 (Example 2.9). Thm 2.21에 의해 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$는 가산이다.
모든 유리수는 $a/b$ ($a,b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$) 형태이므로, $A \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$가 존재하여 $A \sim \mathbb{Q}$. $\mathbb{Q}$가 무한이므로 Thm 2.13에 의해 가산이다.
유리수는 두 정수의 비로 표현되므로, 정수 쌍을 세는 것으로 모든 유리수를 셀 수 있다.
$\mathbb{Q}$ is countable.
$\mathbb{Z}$ is countable (Example 2.9). By Thm 2.21, $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ is countable. Every rational is $a/b$ where $a,b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$. So $A \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ with $A \sim \mathbb{Q}$. Since $\mathbb{Q}$ is infinite, it's countable by Thm 2.13. $\square$
원소가 숫자 0과 1인 모든 수열들의 집합 $A$는 비가산이다.
귀류법. $A$가 가산이라 가정하면 수열 $(s_n)$으로 나열 가능. 각 $s_n = (s_{n,k})$.
새 수열 $\bar{s}$를 $\bar{s}_n \neq s_{n,n}$으로 정의하면, 모든 $n$에 대해 $\bar{s} \neq s_n$이지만 $\bar{s} \in A$. 모순.
이것이 Cantor의 대각선 논법이다.
0과 1로 이루어진 무한 수열을 아무리 나열해도, 대각선을 뒤집어 만든 새 수열은 목록에 없다. 따라서 실수는 자연수보다 '많다'.
Let $A$ be the set of all sequences whose elements are the digits 0 and 1. Then $A$ is uncountable.
Suppose $A$ is countable, arranged as $(s_n)$. Define $\bar{s}$ by $\bar{s}_n \neq s_{n,n}$. Then $\bar{s} \in A$ but $\bar{s} \neq s_n$ for all $n$, contradiction. This is Cantor's diagonal process. $\square$
거리 공간 · Metric Spaces
집합 $X$가 거리 공간(metric space)이라 함은 $X$의 임의의 두 원소 $p, q$에 대해 거리(distance) $d(p,q)$라 불리는 실수가 대응되는 함수 $d: X \times X \to \mathbb{R}$이 존재하여 다음을 만족하는 것이다:
(a) $d(p,p) = 0$ for all $p \in X$
(b) $d(p,q) > 0$ if $p \neq q$
(c) $d(p,q) = d(q,p)$ for all $p,q \in X$
(d) 삼각부등식: $d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)$ for all $p,q,r \in X$
이 성질을 만족하는 함수를 거리(metric) 또는 거리함수(distance function)라 한다. $(X, d)$가 거리 공간이라고도 쓴다.
거리 공간은 두 점 사이의 '거리'를 잴 수 있는 공간이다. 유클리드 공간이 가장 흔한 예시.
A set $X$ is said to be a metric space if there exists a function $d: X \times X \to \mathbb{R}$ such that:
(a) $d(p,p) = 0$ for all $p \in X$
(b) $d(p,q) > 0$ if $p \neq q$
(c) $d(p,q) = d(q,p)$ for all $p,q \in X$
(d) Triangle inequality: $d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)$ for all $p,q,r \in X$
Any function satisfying these is called a metric or distance function.
(i) $a < b$일 때, 선분(segment) $(a,b)$은 $a < x < b$인 모든 실수 $x$의 집합이며 열린 구간(open interval)이라고도 한다. 구간(interval) $[a,b]$는 $a \leq x \leq b$인 모든 실수 $x$의 집합이며 닫힌 구간(closed interval)이다. 반열린 구간도 비슷하게 정의.
(ii) $a_i < b_i$ ($i=1,\ldots,k$)일 때, $a_i \leq x_i \leq b_i$를 만족하는 모든 점 $x = (x_1,\ldots,x_k) \in \mathbb{R}^k$의 집합을 $k$-cell이라 한다.
(iii) $x \in \mathbb{R}^k$, $r > 0$일 때, 열린 공(open ball) $B(x,r) = \{y \in \mathbb{R}^k : |y - x| < r\}$, 닫힌 공(closed ball) $\bar{B}(x,r) = \{y \in \mathbb{R}^k : |y - x| \leq r\}$.
(iv) $E \subset \mathbb{R}^k$가 볼록(convex)이란 $\lambda x + (1-\lambda)y \in E$ for all $x,y \in E$, $0 < \lambda < 1$.
구간은 수직선 위의 연속적인 구간, $k$-cell은 고차원 직사각형, 공은 고차원 원(구), 볼록 집합은 두 점을 잇는 선분이 항상 집합 안에 있는 집합이다.
(i) Segment $(a,b)$ = open interval, interval $[a,b]$ = closed interval.
(ii) A $k$-cell is the set of all $x=(x_1,\ldots,x_k) \in \mathbb{R}^k$ with $a_i \leq x_i \leq b_i$.
(iii) Open ball $B(x,r) = \{y \in \mathbb{R}^k : |y-x| < r\}$, closed ball $\bar{B}(x,r) = \{y \in \mathbb{R}^k : |y-x| \leq r\}$.
(iv) $E \subset \mathbb{R}^k$ is convex if $\lambda x + (1-\lambda)y \in E$ for all $x,y \in E$, $0 < \lambda < 1$.
근방, 극한점, 열린·닫힌 집합 · Neighborhoods, Limit Points, Open/Closed Sets
$(X,d)$를 거리 공간이라 하자. $E \subset X$에 대해:
(a) $r > 0$일 때, 점 $p$의 근방(neighborhood) $N_r(p) = \{q \in X : d(p,q) < r\}$. $r$을 반지름, $p$를 중심이라 한다.
(b) $p$가 $E$의 극한점(limit point)이란 $p$의 모든 근방이 $p \neq q$인 $q \in E$를 포함하는 것.
(c) $p \in E$이고 $p$가 $E$의 극한점이 아니면 $p$를 $E$의 고립점(isolated point)이라 한다.
(d) 모든 극한점이 $E$에 속하면 $E$는 닫혀있다(closed).
(e) $p \in E$에 대해 $N_r(p) \subset E$인 $r > 0$이 존재하면 $p$는 $E$의 내점(interior point).
(f) $E$의 모든 점이 내점이면 $E$는 열려있다(open).
(g) $E$의 여집합 $E^c = \{p \in X : p \notin E\}$.
(h) $E$가 닫혀있고 모든 점이 극한점이면 $E$는 완전(perfect).
(i) $M > 0$이 존재하여 모든 $p, q \in E$에 대해 $d(p,q) < M$이면 $E$는 유계(bounded).
(j) $E$가 $X$에서 조밀(dense)이란 $X$의 모든 점이 $E$의 극한점이거나 $E$의 점인 것.
열린 집합은 경계를 포함하지 않는 집합, 닫힌 집합은 경계까지 포함하는 집합이다. 극한점은 아무리 가까이 다가가도 주변에 항상 집합의 원소가 있는 점이다.
Let $(X,d)$ be a metric space, $E \subset X$:
(a) Neighborhood $N_r(p) = \{q \in X : d(p,q) < r\}$.
(b) $p$ is a limit point of $E$ if every neighborhood of $p$ contains a point $q \neq p$ such that $q \in E$.
(c) If $p \in E$ and $p$ is not a limit point, $p$ is an isolated point.
(d) $E$ is closed if every limit point of $E$ is a point of $E$.
(e) $p$ is an interior point of $E$ if there is a $N_r(p) \subset E$.
(f) $E$ is open if every point of $E$ is an interior point.
(g) Complement $E^c = X - E$.
(h) $E$ is perfect if $E$ is closed and every point of $E$ is a limit point.
(i) $E$ is bounded if there is $M > 0$ with $d(p,q) < M$ for all $p,q \in E$.
(j) $E$ is dense in $X$ if every point of $X$ is a limit point of $E$, or a point of $E$ (or both).
거리 공간에서 모든 근방은 열린 집합이다.
$E = N_r(p)$라 하자. $q \in N_r(p)$이면 $h = r - d(p,q) > 0$이다.
$s \in N_h(q)$이면 삼각부등식에 의해 $d(p,s) \leq d(p,q) + d(q,s) < d(p,q) + h = r$이다.
따라서 $N_h(q) \subset N_r(p)$이므로 $q$는 내점이다.
열린 공의 안쪽 점에서는 항상 더 작은 공을 그릴 수 있다. 따라서 경계에 닿지 않으므로 열린 집합이다.
Let $(X,d)$ be a metric space. Then every neighborhood in $X$ is an open set.
Let $E = N_r(p)$. Let $q \in N_r(p)$. Set $h = r - d(p,q) > 0$. For all $s \in N_h(q)$, by triangle inequality $d(p,s) \leq d(p,q) + d(q,s) < d(p,q) + h = r$. So $N_h(q) \subset N_r(p)$, meaning $q$ is an interior point. $\square$
거리 공간 $(X,d)$에서 $E \subset X$이고 $p$가 $E$의 극한점이면, $p$의 모든 근방은 $E$의 무한히 많은 점을 포함한다.
어떤 $N_r(p)$가 $p$와 다른 $E$의 점을 유한 개 $q_1,\ldots,q_n$만 포함한다고 가정하자.
$r' = \min\{d(p,q_i)\}$로 놓으면 $N_{r'}(p)$는 $p$ 이외의 $E$의 점을 포함하지 않으므로, $p$가 극한점인 것에 모순이다.
극한점 주변에 유한 개만 있다면, 가장 가까운 점보다 더 작은 근방을 잡으면 아무 점도 없게 되어 모순이다.
Let $(X,d)$ be a metric space, $E \subset X$, and $p$ a limit point of $E$. Then every neighborhood of $p$ contains infinitely many points of $E$.
Suppose some $N_r(p)$ contains only finitely many points $q_1,\ldots,q_n$ of $E$ distinct from $p$. Let $r' = \min\{d(p,q_i)\}$. Then $N_{r'}(p)$ contains no point of $E$ other than possibly $p$, contradicting $p$ being a limit point. $\square$
거리 공간의 유한 부분집합 $E$에 대해:
(i) $E$는 유계
(ii) $E$는 극한점을 갖지 않는다
(iii) $E$는 닫혀있다
유한 개의 점은 유한한 공간에 담기고, 어떤 점 주변에도 무한히 가까이 접근하는 점이 없으므로 극한점이 없다. 극한점이 없으니 자동으로 닫혀있다.
Let $X$ be a metric space and $E$ be a finite subset of $X$. Then:
(i) $E$ is bounded
(ii) $E$ has no limit points
(iii) $E$ is closed
$(X,d)$를 거리 공간, $E \subset X$, $x \in X$라 하자. $x$가 $E$의 극한점이 아니고 $x \notin E$이면, $N_r(x) \cap E = \emptyset$인 $r > 0$이 존재한다.
$E$에 속하지도 않고 극한점도 아닌 점 주변에는 $E$의 원소가 전혀 없는 작은 공을 잡을 수 있다.
Let $(X,d)$ be a metric space, $E \subset X$, and $x$ a point in $X$. Assume that $x \notin E$ and $x$ is not a limit point of $E$. Then there exists $r > 0$ such that $N_r(x) \cap E = \emptyset$.
집합 $E$는 열려있다 $\iff$ $E^c$는 닫혀있다.
($\Rightarrow$) $E^c$가 닫혀있음을 보인다. $x$가 $E^c$의 극한점이라 하자. $x \in E$이면 $x$는 $E$의 내점이므로 $N_r(x) \subset E$인 $r$이 존재하고, $N_r(x) \cap E^c = \emptyset$이 되어 $x$가 극한점인 것에 모순. 따라서 $x \in E^c$.
($\Leftarrow$) $E$가 열려있음을 보인다. $x \in E$이면 $x \notin E^c$. $E^c$가 닫혀있으므로 $x$는 $E^c$의 극한점이 아니다. Lem 2.39에 의해 $N_r(x) \cap E^c = \emptyset$인 $r$이 존재. 즉 $N_r(x) \subset E$.
열린 집합의 바깥(여집합)은 경계를 모두 포함하므로 닫혀있고, 그 역도 성립한다.
A set $E$ is open if and only if $E^c$ is closed.
($\Rightarrow$) Suppose $E$ is open. Let $x$ be a limit point of $E^c$. If $x \in E$, then $x$ is interior to $E$, so $N_r(x) \subset E$ for some $r$, meaning $N_r(x) \cap E^c = \emptyset$, contradicting $x$ being a limit point. Thus $x \in E^c$.
($\Leftarrow$) Suppose $E^c$ is closed. Let $x \in E$. Then $x \notin E^c$ and $x$ is not a limit point of $E^c$. By Lem 2.39, $N_r(x) \cap E^c = \emptyset$ for some $r$. Hence $N_r(x) \subset E$. $\square$
집합 $F$가 닫혀있다 $\iff$ $F^c$가 열려있다.
Thm 2.40의 직접적인 결과. 열림과 닫힘은 여집합을 통해 완벽하게 쌍대적이다.
A set $F$ is closed if and only if $F^c$ is open.
(일반화된 드 모르간 법칙) $A$를 첨자 집합이라 하고 각 $\alpha \in A$에 대해 집합 $E_\alpha$가 주어지면:
합집합의 여집합은 여집합의 교집합, 교집합의 여집합은 여집합의 합집합. 여집합을 취하면 합집합과 교집합이 뒤바뀐다.
(Generalization of De Morgan's law) For any index set $A$ and collection $\{E_\alpha\}$:
(a) 열린 집합들의 합집합은 열려있다.
(b) 닫힌 집합들의 교집합은 닫혀있다.
(c) 유한 개의 열린 집합의 교집합은 열려있다.
(d) 유한 개의 닫힌 집합의 합집합은 닫혀있다.
열린 집합을 아무리 많이 합쳐도 열려있지만, 무한히 교집합하면 열림이 깨질 수 있다 (Thm 2.45 참고). 닫힌 집합은 그 반대.
(a) Any union of open sets is open.
(b) Any intersection of closed sets is closed.
(c) A finite intersection of open sets is open.
(d) A finite union of closed sets is closed.
열린 집합들의 가산 교집합이 반드시 열린 것은 아니다.
반례: $G_n = (-1/n, 1/n)$이면 각 $G_n$은 열려있지만 $\bigcap_{n=1}^{\infty} G_n = \{0\}$은 열려있지 않다.
점점 좁아지는 열린 구간을 무한히 교집합하면 한 점만 남게 되어 열린 집합이 아니게 된다. 무한 교집합이 유한 교집합과 다르게 행동하는 중요한 예시.
A countable intersection of open sets need not be open.
Counterexample: $G_n = (-1/n, 1/n)$ are open but $\bigcap G_n = \{0\}$ is not open.
$(X,d)$를 거리 공간이라 하자.
(a) $E'$로 $E$의 모든 극한점의 집합을 나타낸다.
(b) $E$의 폐포(closure)는 $\bar{E} = E \cup E'$로 정의된다.
폐포는 집합에 모든 극한점을 추가하여 '닫히게' 만든 것이다. 열린 구간 $(0,1)$의 폐포는 닫힌 구간 $[0,1]$이다.
(a) By $E'$ we denote the set of all limit points of $E$ in $X$.
(b) The closure of $E$ is defined as $\bar{E} = E \cup E'$.
$E \cap N_r(x) = \emptyset$이면 $E' \cap N_r(x) = \emptyset$.
근방 안에 $E$의 원소가 하나도 없으면, 그 근방에 $E$의 극한점도 있을 수 없다.
If $E \cap N_r(x) = \emptyset$ then $E' \cap N_r(x) = \emptyset$.
$(X,d)$를 거리 공간, $E \subset X$, $x \in X$라 하자. $x \notin E$이고 $x$가 $E$의 극한점이 아니면, $N_r(x) \cap E = \emptyset$인 $r > 0$이 존재한다.
Let $(X,d)$ be a metric space, $E \subset X$, and $x \in X$. Assume that $x \notin E$ and $x$ is not a limit point of $E$. Then there exists $r > 0$ such that $N_r(x) \cap E = \emptyset$.
$X$를 거리 공간, $E \subset X$이면:
(a) $\bar{E}$는 닫혀있다.
(b) $E = \bar{E}$ $\iff$ $E$는 닫혀있다.
(c) 닫힌 집합 $F$에 대해 $E \subset F$이면 $\bar{E} \subset F$.
즉 $\bar{E}$는 $E$를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.
폐포는 집합을 감싸는 가장 타이트한 닫힌 집합이다. 이미 닫혀있으면 폐포는 자기 자신이다.
Let $X$ be a metric space and $E \subset X$. Then:
(a) $\bar{E}$ is closed.
(b) $E = \bar{E}$ iff $E$ is closed.
(c) For every closed set $F$ with $E \subset F$, we have $\bar{E} \subset F$. That is, $\bar{E}$ is the smallest closed set containing $E$.
상대적 열림·닫힘 · Relative Topology
$(X,d)$를 거리 공간, $Y \subset X$라 하자. $(Y,d)$도 거리 공간이다.
$E \subset Y$가 $Y$에서 열려있다(open relative to $Y$)는 것은 모든 $y \in E$에 대해 $N_r^Y(y) \subset E$인 $r > 0$이 존재하는 것. 즉, $Y$에서의 근방 $N_r^Y(p) = \{q \in Y : d(p,q) < r\}$를 사용.
부분 공간 $Y$의 관점에서만 보면 열려있는 집합이다. 전체 공간 $X$에서는 열려있지 않을 수도 있다.
Let $(X,d)$ be a metric space and $Y \subset X$. We say a set $E$ is open relative to $Y$ if for each $y \in E$, there exists $r > 0$ with $N_r^Y(y) \subset E$.
$(X,d)$를 거리 공간, $Y \subset X$라 하자.
$E \subset Y$가 $Y$에 대해 열려있다 $\iff$ $E = Y \cap G$인 $X$에서 열린 집합 $G$가 존재한다.
$Y$ 안에서 열린 집합은 항상 전체 공간의 열린 집합을 $Y$와 교집합한 형태로 표현할 수 있다.
$E$ is open relative to $Y$ iff there exists an open set $G$ in $X$ such that $E = G \cap Y$.
콤팩트 집합 · Compact Sets
$X$를 거리 공간, $E \subset X$라 하자. $E$의 열린 덮개(open cover)란 $E \subset \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha$를 만족하는 $X$의 열린 집합들의 모임 $\{G_\alpha : \alpha \in A\}$이다.
열린 집합들로 대상 집합을 빈틈없이 덮는 것이다. 여러 장의 천으로 물건을 완전히 덮는 것에 비유할 수 있다.
An open cover of $E$ is a collection $\{G_\alpha\}$ of open subsets of $X$ such that $E \subset \bigcup G_\alpha$.
$K \subset X$가 콤팩트(compact)란 $K$의 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지는 것이다.
즉, $K$의 임의의 열린 덮개 $\{G_\alpha\}$에 대해, 유한 개의 $G_{\alpha_1}, \ldots, G_{\alpha_n}$이 존재하여 $K \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}$.
콤팩트 집합은 '유한 개로 덮을 수 있는' 집합이다. 유클리드 공간에서는 닫혀있고 유계인 집합이 콤팩트이다.
$K \subset X$ is compact if every open cover of $K$ has a finite subcover. That is, for any open cover $\{G_\alpha\}$ of $K$, there exist $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ such that $K \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}$.
$K$는 $X$에 대해 콤팩트 $\iff$ $K$는 $Y$에 대해 콤팩트 ($K \subset Y \subset X$).
콤팩트성은 어느 공간에서 보든 동일하다. 부분 공간으로 옮겨도 콤팩트성이 보존된다.
$K$ is compact relative to $X$ if and only if $K$ is compact relative to $Y$ (where $K \subset Y \subset X$).
거리 공간의 콤팩트 부분집합은 닫혀있다.
콤팩트 집합은 모든 극한점을 포함한다. 만약 극한점이 밖에 있으면 그 점 주변에서 유한 부분 덮개를 구성할 수 없다.
Let $X$ be a metric space and $K \subset X$. Assume that $K$ is compact. Then $K$ is closed. In other words, compact subsets of metric spaces are closed.
콤팩트 집합의 닫힌 부분집합은 콤팩트이다. 즉, $F$가 닫혀있고 $K$가 콤팩트이며 $F \subset K$이면 $F$는 콤팩트이다.
콤팩트한 집합의 일부를 닫힌 조건으로 잘라내면, 잘려 나온 부분도 여전히 콤팩트하다.
Let $X$ be a metric space and $F \subset K \subset X$. Assume that $F$ is closed and $K$ is compact. Then $F$ is compact. In other words, closed subsets of compact sets are compact.
$F$가 닫혀있고 $K$가 콤팩트이면, $F \cap K$는 콤팩트이다.
닫힌 집합과 콤팩트 집합의 교집합은 콤팩트 집합의 닫힌 부분집합이므로 콤팩트이다 (Thm 2.65의 직접 적용).
If $F$ is closed and $K$ is compact, then $F \cap K$ is compact.
$\{K_\alpha : \alpha \in A\}$를 거리 공간 $X$의 콤팩트 부분집합들의 모임이라 하자. 모든 (비어있지 않은) 유한 부분 모임의 교집합이 공집합이 아니면, $\bigcap_{\alpha \in A} K_\alpha \neq \emptyset$이다.
유한 교집합 성질(FIP): 유한 개를 아무리 골라 교집합해도 공집합이 아니면, 전체 교집합도 공집합이 아니다. 콤팩트성이 이를 보장한다.
Let $\{K_\alpha\}$ be a collection of compact subsets of $X$. Assume that the intersection of every finite subcollection is nonempty. Then $\bigcap K_\alpha \neq \emptyset$.
$K_1 \supset K_2 \supset \cdots$가 공집합이 아닌 콤팩트 집합들의 수열이면, $\bigcap_{n=1}^{\infty} K_n \neq \emptyset$.
점점 작아지더라도 콤팩트하고 비어있지 않은 집합들의 교집합에는 반드시 공통 원소가 남는다.
Let $K_1, K_2, \ldots$ be a sequence of nonempty compact sets such that $K_n \supset K_{n+1}$. Then $\bigcap K_n \neq \emptyset$.
콤팩트 집합 $K$의 무한 부분집합 $E$는 $K$ 안에 극한점을 가진다.
콤팩트 집합 안에 무한히 많은 점이 있으면, 반드시 어딘가에 점들이 쌓이는 곳(극한점)이 있고, 그 점은 $K$ 안에 있다.
Let $E$ be an infinite subset of a compact set $K$. Then $E$ has a limit point in $K$.
$I_1, I_2, \ldots$가 $\mathbb{R}$의 닫힌 구간의 수열이고 $I_n \supset I_{n+1}$이면, $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \neq \emptyset$.
점점 좁아지는 닫힌 구간들의 교집합에는 반드시 공통점이 존재한다. 실수의 완비성이 이를 보장한다.
Let $I_1, I_2, \ldots$ be a sequence of closed intervals in $\mathbb{R}$. Assume that $I_n \supset I_{n+1}$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then $\bigcap I_n \neq \emptyset$.
$k \in \mathbb{N}$이고 $I_1, I_2, \ldots$가 $k$-cell들의 수열이며 $I_n \supset I_{n+1}$이면, $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \neq \emptyset$.
축소 구간 정리의 고차원 일반화. 점점 작아지는 $k$차원 직사각형들도 공통점을 가진다.
Let $k \in \mathbb{N}$ and $I_1, I_2, \ldots$ be a sequence of $k$-cells. Assume that $I_n \supset I_{n+1}$. Then $\bigcap I_n \neq \emptyset$.
모든 $k$-cell은 콤팩트이다.
고차원 닫힌 직사각형은 항상 콤팩트하다. 하이네-보렐 정리(Thm 2.84)로 가는 핵심 단계이다.
Every $k$-cell is compact.
극한점과 수열 · Limit Points & Sequences in $\mathbb{R}^k$
$k \in \mathbb{N}$, $E \subset \mathbb{R}^k$, $x \in \mathbb{R}^k$이라 하자. 상수 $\epsilon > 0$이 존재하여 모든 $z \in E$에 대해 $|x - z| \geq \epsilon$이면, $x$는 $E$의 극한점이 아니다.
$E$의 모든 점으로부터 일정 거리 이상 떨어져 있으면 극한점이 될 수 없다.
Let $k \in \mathbb{N}$, $E \subset \mathbb{R}^k$, and $x \in \mathbb{R}^k$. Assume there exists $\epsilon > 0$ such that $|x - z| \geq \epsilon$ for all $z \in E$. Then $x$ is not a limit point of $E$.
$k \in \mathbb{N}$, $E_1 \subset \mathbb{R}^k$, $E_2 \subset \mathbb{R}^k$, $E = E_1 \cup E_2$이고 $x$가 $E$의 극한점이라 하자. $E_1$이 유한이면, $x$는 $E_2$의 극한점이다.
합집합의 극한점인데 한쪽이 유한이면, 무한히 가까이 오는 점들은 모두 다른 쪽에서 와야 한다.
Let $E = E_1 \cup E_2$, $x$ a limit point of $E$. If $E_1$ is finite, then $x$ is a limit point of $E_2$.
$(X,d)$를 거리 공간, $E \subset \mathbb{R}^k$, $x$가 $E$의 극한점이라 하자.
그러면 $E$ 안에 수열 $x_1, x_2, \ldots$가 존재하여 $x_i \neq x_j$ ($i \neq j$)이고 $|x - x_n| < 1/n$ ($\forall n$).
또한 집합 $S = \{x_1, x_2, \ldots\}$의 극한점이 $y$이면 $x = y$이다.
극한점에는 $E$의 점들이 수렴하는 수열이 존재하고, 그 수열의 극한점은 유일하게 $x$이다.
Let $k \in \mathbb{N}$, $E \subset \mathbb{R}^k$, and $x$ a limit point of $E$. Then there exists a sequence $x_1, x_2, \ldots$ such that $x_i \neq x_j$ for $i \neq j$, $x_n \in E$, and $|x - x_n| < 1/n$ for all $n$.
Moreover, if $S = \{x_1,x_2,\ldots\}$ has a limit point $y$, then $x = y$.
$k \in \mathbb{N}$이고 $\mathbb{R}^k$에서의 수열 $x_1, x_2, \ldots$가 $|x_n| > n$ ($\forall n$)을 만족하면, 집합 $S = \{x_1, x_2, \ldots\}$는 $\mathbb{R}^k$에서 극한점을 갖지 않는다.
원점에서 점점 멀어지는 수열은 어디에도 쌓이지 않으므로 극한점이 없다.
Let $k \in \mathbb{N}$ and $x_1, x_2, \ldots$ be a sequence in $\mathbb{R}^k$ with $|x_n| > n$ for all $n$. Then $S = \{x_1,x_2,\ldots\}$ has no limit point in $\mathbb{R}^k$.
(하이네-보렐 정리) $k \in \mathbb{N}$이고 $E \subset \mathbb{R}^k$이면, 다음 세 조건은 동치이다:
(a) $E$는 닫혀있고 유계
(b) $E$는 콤팩트
(c) $E$의 모든 무한 부분집합은 $E$ 안에 극한점을 가진다
하이네-보렐 정리는 유클리드 공간에서 콤팩트성의 완벽한 특성화를 제공한다: 닫혀있고 유계 ⟺ 콤팩트. 해석학에서 가장 중요한 정리 중 하나이다.
(Heine-Borel Theorem) Let $k \in \mathbb{N}$ and $E \subset \mathbb{R}^k$. The following three properties are equivalent:
(a) $E$ is closed and bounded
(b) $E$ is compact
(c) Every infinite subset of $E$ has a limit point in $E$
(바이어슈트라스 정리) $k \in \mathbb{N}$이고 $E \subset \mathbb{R}^k$가 유계인 무한집합이면, $E$는 $\mathbb{R}^k$에서 극한점을 가진다.
유계인 공간에 무한히 많은 점이 있으면 반드시 어딘가에 쌓인다. 하이네-보렐 정리의 직접적인 결과이다.
(Weierstrass Theorem) Let $k \in \mathbb{N}$ and $E \subset \mathbb{R}^k$. Assume that $E$ is bounded and infinite. Then $E$ has a limit point in $\mathbb{R}^k$.