수열의 수렴 · Convergent Sequences
$(X,d)$를 거리 공간, $\{p_n\}$을 $X$ 안의 수열, $p \in X$라 하자. 수열 $\{p_n\}$이 $p$에 수렴(converge)한다는 것은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 양의 정수 $N$이 존재하여 모든 $n \geq N$에 대해
이 성립하는 것이다. 이때 $p$를 $\{p_n\}$의 극한(limit)이라 하고,
로 표기한다. 수렴하지 않는 수열은 발산(diverge)한다고 한다.
Let $(X,d)$ be a metric space, $\{p_n\}$ a sequence in $X$, and $p \in X$. We say $\{p_n\}$ converges to $p$ if for every $\varepsilon > 0$ there exists a positive integer $N$ such that for all $n \geq N$,
We call $p$ the limit of $\{p_n\}$ and write $\lim_{n \to \infty} p_n = p$ or $p_n \to p$. A sequence that does not converge is said to diverge.
수렴 조건 $d(p_n, p) < \varepsilon$은 $p_n \in N_\varepsilon(p)$와 동치이다. 따라서 DEF 3.1은 다음과 같이도 쓸 수 있다: 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $N$이 존재하여 모든 $n \geq N$에 대해 $p_n \in N_\varepsilon(p)$.
수렴은 공간 $X$에 의존한다. 예를 들어 $p_n = 1/n$은 $X = \mathbb{R}$에서는 $0$에 수렴하지만, $X = (0, \infty)$에서는 수렴하지 않는다 (극한 후보 $0$이 $X$에 없기 때문).
The condition $d(p_n, p) < \varepsilon$ is equivalent to $p_n \in N_\varepsilon(p)$. So DEF 3.1 says: for every $\varepsilon > 0$ there exists $N$ with $p_n \in N_\varepsilon(p)$ for all $n \geq N$.
Convergence depends on $X$: $p_n = 1/n$ converges in $\mathbb{R}$ but not in $(0,\infty)$.
$(X,d)$가 거리 공간이고 $p \in X$라 하자. 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $p_n := p$로 정의하면, 모든 $\varepsilon > 0$과 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $d(p_n, p) = 0 < \varepsilon$이므로 $\lim_{n\to\infty} p_n = p$이다.
Let $p \in X$ and define $p_n := p$ for all $n \in \mathbb{N}$. For any $\varepsilon > 0$ and any $n$, $d(p_n, p) = 0 < \varepsilon$, so $p_n \to p$.
$(X,d)$가 거리 공간이고 $\{p_n\}$이 $X$ 안의 수열이라 하자.
(a) $\{p_n\}$이 $p \in X$에 수렴할 필요충분조건은 $p$의 모든 근방이 $\{p_n\}$의 모든 항을 유한 개를 제외하고 포함하는 것이다.
(b) $p, p' \in X$에 대해 $\lim p_n = p$이고 $\lim p_n = p'$이면 $p = p'$이다 (극한의 유일성).
(c) $\{p_n\}$이 수렴하면 집합 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$은 유계이다.
(a) ($\Rightarrow$) $V$를 $p$의 근방이라 하자. 근방의 정의에 의해 $V = N_\varepsilon(p)$인 $\varepsilon > 0$이 존재한다. $\lim p_n = p$이므로 $N$이 존재하여 모든 $n \geq N$에 대해 $d(p_n, p) < \varepsilon$, 즉 $p_n \in N_\varepsilon(p) = V$. 따라서 $\{p_n : p_n \notin V\} \subset \{p_1, \ldots, p_{N-1}\}$는 유한 집합.
($\Leftarrow$) $\varepsilon > 0$을 임의로 주자. $N_\varepsilon(p)$는 $p$의 근방이므로 가정에 의해 $\{p_n : p_n \notin N_\varepsilon(p)\} = \{p_{n_1}, \ldots, p_{n_m}\}$은 유한. $N > \max\{n_1, \ldots, n_m\}$으로 택하면 모든 $n \geq N$에 대해 $p_n \in N_\varepsilon(p)$, 즉 $d(p_n, p) < \varepsilon$.
(b) $\varepsilon > 0$을 주자. $\lim p_n = p$, $\lim p_n = p'$이므로 $N_1, N_2$가 존재하여 $n \geq N_1$이면 $d(p_n, p) < \varepsilon$, $n \geq N_2$이면 $d(p_n, p') < \varepsilon$. $N := \max\{N_1, N_2\}$로 놓으면 $n \geq N$에서 삼각부등식에 의해 $d(p, p') \leq d(p_n, p) + d(p_n, p') < 2\varepsilon$. $\varepsilon$이 임의이므로 $d(p, p') = 0$, 즉 $p = p'$.
(c) $p = \lim p_n$이라 하자. $\varepsilon = 1$을 잡으면 $N$이 존재하여 $n \geq N$이면 $d(p_n, p) < 1$. $r := \max\{1, d(p, p_1), \ldots, d(p, p_{N-1})\}$로 놓으면 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $d(p_n, p) \leq r < r + 1$. 따라서 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$은 유계.
Let $(X,d)$ be a metric space and $\{p_n\}$ a sequence in $X$.
(a) $\{p_n\}$ converges to $p \in X$ iff every neighborhood of $p$ contains all but finitely many of the terms of $\{p_n\}$.
(b) If $\lim p_n = p$ and $\lim p_n = p'$, then $p = p'$.
(c) If $\{p_n\}$ converges, then $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$ is bounded.
(a) ($\Rightarrow$) Let $V$ be a neighborhood of $p$, so $V = N_\varepsilon(p)$ for some $\varepsilon > 0$. Since $\lim p_n = p$, there exists $N$ such that $d(p_n, p) < \varepsilon$, i.e. $p_n \in V$, for all $n \geq N$. Thus $\{p_n : p_n \notin V\} \subset \{p_1, \ldots, p_{N-1}\}$ is finite.
($\Leftarrow$) Given $\varepsilon > 0$, $N_\varepsilon(p)$ is a neighborhood of $p$. By hypothesis, $\{p_n : p_n \notin N_\varepsilon(p)\} = \{p_{n_1}, \ldots, p_{n_m}\}$. Take $N > \max\{n_1,\ldots,n_m\}$; then $p_n \in N_\varepsilon(p)$ and $d(p_n, p) < \varepsilon$ for all $n \geq N$.
(b) Given $\varepsilon > 0$, pick $N_1, N_2$ with $d(p_n, p) < \varepsilon$ for $n \geq N_1$ and $d(p_n, p') < \varepsilon$ for $n \geq N_2$. For $n \geq N := \max\{N_1, N_2\}$, $d(p, p') \leq d(p_n, p) + d(p_n, p') < 2\varepsilon$. Since $\varepsilon$ arbitrary, $d(p, p') = 0$, so $p = p'$.
(c) Let $p = \lim p_n$. With $\varepsilon = 1$, $N$ exists so $d(p_n, p) < 1$ for $n \geq N$. Put $r = \max\{1, d(p, p_1),\ldots,d(p, p_{N-1})\}$. Then $d(p_n, p) \leq r < r+1$ for all $n$, so $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$ is bounded. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $E \subset X$, $p \in X$라 하자. $p$가 $E$의 극한점이면, $E$ 안의 수열 $\{p_n\}$이 존재하여 $\lim_{n\to\infty} p_n = p$이다.
$p$가 $E$의 극한점이므로 각 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $p_n \in E$, $p_n \neq p$, $d(p, p_n) < 1/n$인 $p_n$을 택할 수 있다.
$\{p_n\}$이 $p$에 수렴함을 보이자. $\varepsilon > 0$을 임의로 주자. 아르키메데스 성질에 의해 $1/N < \varepsilon$인 $N$이 존재한다. 모든 $n \geq N$에 대해
Let $(X,d)$ be a metric space, $E \subset X$, $p \in X$. If $p$ is a limit point of $E$, then there exists a sequence $\{p_n\}$ in $E$ with $\lim p_n = p$.
For each $n \in \mathbb{N}$, pick $p_n \in E$ with $p_n \neq p$ and $d(p, p_n) < 1/n$. Given $\varepsilon > 0$, choose $N$ with $1/N < \varepsilon$. For $n \geq N$, $d(p, p_n) < 1/n \leq 1/N < \varepsilon$. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $p \in X$이고 $p_n := p$로 정의하면 (EXAM 3.3에 의해) $\lim p_n = p$이다. 그러나 집합 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\} = \{p\}$는 $X$에서 극한점을 갖지 않는다. 즉, THM 3.6의 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
For $p \in X$ and $p_n := p$ we have $\lim p_n = p$, but $\{p_n : n \in \mathbb{N}\} = \{p\}$ has no limit point in $X$. So the converse of THM 3.6 fails in general.
부분수열 · Subsequences
$\{p_n\}$을 거리 공간 $X$ 안의 수열이라 하자. 양의 정수들의 수열 $\{n_i : i \in \mathbb{N}\}$이 $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$를 만족하면, 수열 $\{p_{n_i} : i \in \mathbb{N}\}$을 $\{p_n\}$의 부분수열(subsequence)이라 한다.
$p \in X$에 대해 $\lim_{i \to \infty} p_{n_i} = p$이면, $p$를 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$의 부분수열 극한(subsequential limit)이라 한다. $\{p_n\}$이 어떤 부분수열 극한을 가지면 수렴하는 부분수열을 포함한다고 한다.
Let $\{p_n\}$ be a sequence in $X$. Consider an increasing sequence $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ of positive integers. Then $\{p_{n_i} : i \in \mathbb{N}\}$ is called a subsequence of $\{p_n\}$. If $\lim_{i \to \infty} p_{n_i} = p$, then $p$ is called a subsequential limit of $\{p_n\}$. We say $\{p_n\}$ contains a convergent subsequence if $\{p_n\}$ has a subsequential limit.
$(X,d)$가 거리 공간, $K \subset X$라 하자. $K$가 점열적 콤팩트(sequentially compact)라는 것은 $K$ 안의 모든 수열 $\{p_n\}$이 $K$ 안의 부분수열 극한을 가지는 것이다. 즉, 어떤 부분수열 $\{p_{n_i}\}$와 점 $p \in K$가 존재하여 $\lim_{i\to\infty} p_{n_i} = p$이다.
Let $(X,d)$ be a metric space and $K \subset X$. $K$ is sequentially compact iff every sequence $\{p_n\}$ in $K$ has a subsequential limit in $K$; i.e. for any sequence $\{p_n\}$ in $K$, there exist a subsequence $\{p_{n_i}\}$ and $p \in K$ with $\lim p_{n_i} = p$.
$(X,d)$가 거리 공간, $K \subset X$가 콤팩트이면 $K$는 점열적 콤팩트이다.
$\{p_n\}$을 $K$ 안의 수열이라 하자. $K$ 안의 수렴하는 부분수열 $\{p_{n_i}\}$를 찾으면 된다.
(Case 1) 집합 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$이 유한. 그러면 $\tilde p_1, \ldots, \tilde p_N \in K$이 존재하여 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\} = \{\tilde p_1, \ldots, \tilde p_N\}$. 비둘기집 원리에 의해 어떤 $k$에 대해 $\tilde p_k = p_j$가 무한히 많은 $j$에 대해 성립. 따라서 $p_{n_i} = \tilde p_k$인 부분수열이 존재하고 $\lim p_{n_i} = \tilde p_k \in K$.
(Case 2) 집합 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$이 무한. $K$가 콤팩트이므로 THM 2.72에 의해 $\{p_n\}$은 $K$에서 극한점 $p$를 가진다. THM 3.6에 의해 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$ 안의 수열 $\{\tilde p_n\}$이 존재하여 $\lim \tilde p_n = p$. 이로부터 $\{p_n\}$의 부분수열 $\{p_{n_i}\}$를 뽑을 수 있으며 $\lim p_{n_i} = p \in K$.
Let $(X,d)$ be a metric space and $K \subset X$ compact. Then $K$ is sequentially compact.
Let $\{p_n\}$ be a sequence in $K$.
(Case 1) $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$ is finite. Then $\{p_n : n \in \mathbb{N}\} = \{\tilde p_1, \ldots, \tilde p_N\} \subset K$. By pigeonhole, some $\tilde p_k$ equals $p_j$ for infinitely many $j$. We extract $\{p_{n_i}\}$ with $p_{n_i} = \tilde p_k$, so $\lim p_{n_i} = \tilde p_k \in K$.
(Case 2) $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$ is infinite. As an infinite subset of the compact $K$, by THM 2.72 it has a limit point $p \in K$. By THM 3.6, there is a sequence $\{\tilde p_n\}$ in $\{p_n\}$ with $\lim \tilde p_n = p$, giving a subsequence $\{p_{n_i}\}$ of $\{p_n\}$ with $\lim p_{n_i} = p \in K$. $\square$
$k \in \mathbb{N}$이고 $\{p_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 수열이라 하자. 집합 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$이 유계이면 $\{p_n\}$은 수렴하는 부분수열을 포함한다.
$\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$이 유계이므로 $k$-cell $I$가 존재하여 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\} \subset I$. THM 2.76에 의해 $I$는 콤팩트이고, THM 3.14에 의해 $I$는 점열적 콤팩트이다. 따라서 $\{p_n\}$은 $I$ 안에서 수렴하는 부분수열을 가진다.
Let $k \in \mathbb{N}$ and $\{p_n\}$ be a sequence in $\mathbb{R}^k$. Assume $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$ is bounded. Then $\{p_n\}$ contains a convergent subsequence.
$\{p_n\} \subset I$ for some $k$-cell $I$. $I$ is compact (THM 2.76), so sequentially compact (THM 3.14). Hence a convergent subsequence exists. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $p \in X$, $\{q_n\}, \{p_n\}$이 $X$ 안의 수열이라 하자. $\lim_{n\to\infty} p_n = p$이고 모든 $n$에 대해 $d(p_n, q_n) < 1/n$이면 $\lim_{n\to\infty} q_n = p$이다.
$\varepsilon > 0$을 주자. $\lim p_n = p$이므로 $N_1$이 존재하여 $n \geq N_1$이면 $d(p_n, p) < \varepsilon/2$. $1/n \to 0$이므로 $N_2$가 존재하여 $n \geq N_2$이면 $1/n < \varepsilon/2$. $N := \max\{N_1, N_2\}$로 놓으면 $n \geq N$에서 삼각부등식에 의해
Let $p \in X$ and $\{q_n\}, \{p_n\}$ be sequences in $X$. If $\lim p_n = p$ and $d(p_n, q_n) < 1/n$ for all $n$, then $\lim q_n = p$.
Given $\varepsilon > 0$, pick $N_1$ with $d(p_n, p) < \varepsilon/2$ for $n \geq N_1$ and $N_2$ with $1/n < \varepsilon/2$ for $n \geq N_2$. For $n \geq N := \max\{N_1,N_2\}$: $d(q_n, p) \leq d(q_n, p_n) + d(p_n, p) < 1/n + \varepsilon/2 < \varepsilon$. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $\{p_n\}$이 $X$ 안의 수열이라 하자. $\{p_n\}$의 모든 부분수열 극한의 집합을 $E$라 하자:
그러면 $E$는 닫혀있다.
$q$를 $E$의 극한점이라 하자. $q \in E$임을 보이면 된다 (즉, $\{p_n\}$의 어떤 부분수열이 $q$에 수렴).
THM 3.6에 의해 $E$ 안의 수열 $\{q_k\}$가 존재하여 $\lim_{k\to\infty} q_k = q$. 각 $q_k \in E$이므로 $\{p_n\}$의 부분수열 $\{p_{n_i} : i \in \mathbb{N}\}$이 있어 $\lim_{i\to\infty} p_{n_i} = q_k$. 이 부분수열은 $k$에 의존하므로 $p_{k, n_i}$로 표기한다. 각 $k$에 대해 $N_k \in \mathbb{N}$이 존재하여 $i \geq N_k$이면
$m \geq N_1$을 골라서 $d(p_{1, n_m}, q_1) < 1$. 이를 $p_{m_1} := p_{1, n_m}$로 놓는다.
다음으로 $m \geq N_2$를 충분히 크게 잡으면 $m_2 > m_1$이 되도록 $p_{m_2} := p_{2, n_m}$을 택할 수 있으며 $d(p_{m_2}, q_2) < 1/2$.
귀납적으로 $m_1 < m_2 < \cdots$인 양의 정수들을 택하여 $d(p_{m_i}, q_i) < 1/i$. LEM 3.18에 의해 $\lim q_k = q$와 $d(p_{m_i}, q_i) < 1/i$로부터 $\lim p_{m_i} = q$. 따라서 $q \in E$.
Let $(X,d)$ be a metric space and $\{p_n\}$ a sequence. Define $E$ as the set of all subsequential limits of $\{p_n\}$:
Then $E$ is closed.
Let $q$ be a limit point of $E$. By THM 3.6, there is $\{q_k\}$ in $E$ with $\lim q_k = q$. Each $q_k \in E$: there is a subsequence $\{p_{n_i}\}$ (depending on $k$, write $p_{k, n_i}$) with $\lim_i p_{k, n_i} = q_k$, so $N_k$ exists with $d(p_{k, n_i}, q_k) < 1/k$ for $i \geq N_k$.
Choose $m \geq N_1$ and set $p_{m_1} := p_{1, n_m}$; $d(p_{m_1}, q_1) < 1$. Pick $m \geq N_2$ large enough so $m_2 > m_1$ and $p_{m_2} := p_{2, n_m}$ with $d(p_{m_2}, q_2) < 1/2$. Inductively obtain $m_1 < m_2 < \cdots$ with $d(p_{m_i}, q_i) < 1/i$. By LEM 3.18, $\lim p_{m_i} = q$, so $q \in E$. $\square$
코시 수열 · Cauchy Sequences
거리 공간 $X$ 안의 수열 $\{p_n\}$이 코시 수열(Cauchy sequence)이라는 것은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 양의 정수 $N$이 존재하여 모든 $n, m \geq N$에 대해
이 성립하는 것이다.
A sequence $\{p_n\}$ in a metric space $X$ is a Cauchy sequence if for every $\varepsilon > 0$ there exists $N$ such that $d(p_n, p_m) < \varepsilon$ for all $n, m \geq N$.
$(X,d)$가 거리 공간, $\{p_n\}$이 $X$ 안의 수열이라 하자. $\{p_n\}$이 수렴하면 $\{p_n\}$은 코시 수열이다.
$\varepsilon > 0$을 주자. $\{p_n\}$이 수렴하므로 $p \in X$, $\lim p_n = p$인 $p$가 존재. $N$이 존재하여 $n \geq N$이면 $d(p_n, p) < \varepsilon/2$. 삼각부등식에 의해 모든 $n, m \geq N$에 대해
If $\{p_n\}$ converges in $(X,d)$, then $\{p_n\}$ is Cauchy.
Given $\varepsilon > 0$, with $\lim p_n = p$, pick $N$ so $d(p_n, p) < \varepsilon/2$ for $n \geq N$. Then $d(p_n, p_m) \leq d(p_n, p) + d(p_m, p) < \varepsilon$ for $n, m \geq N$. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $\{p_n\}$이 코시 수열이면 집합 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$은 유계이다.
$\{p_n\}$이 코시이므로 $N$이 존재하여 $n, m \geq N$이면 $d(p_n, p_m) < 1$. 특히 모든 $n \geq N$에 대해 $d(p_n, p_N) < 1$. $M := \max\{1, d(p_1, p_N), \ldots, d(p_{N-1}, p_N)\}$로 놓으면 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $d(p_n, p_N) < M + 1$. 따라서 $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$은 유계.
If $\{p_n\}$ is Cauchy, then $\{p_n : n \in \mathbb{N}\}$ is bounded.
Pick $N$ so $d(p_n, p_m) < 1$ for $n, m \geq N$. Then $d(p_n, p_N) < 1$ for $n \geq N$. Put $M = \max\{1, d(p_1, p_N), \ldots, d(p_{N-1}, p_N)\}$. Then $d(p_n, p_N) < M + 1$ for all $n$. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $E \subset X$가 유계이면 $E$의 폐포 $\overline{E}$도 유계이다.
$E$가 유계이므로 $M > 0$, $x_0 \in E$가 존재하여 $d(x, x_0) < M$ ($\forall x \in E$).
$\overline{E}$가 유계가 아니라 가정하자. 그러면 $y \in \overline{E}$가 존재하여 $d(y, x_0) \geq 2M$. $\overline{E} = E \cup E'$이므로 $y \in E$이면 $d(y, x_0) < M$이어야 모순. 따라서 $y \in E'$, 즉 $y$는 $E$의 극한점. 그러면 $z \in E$가 존재하여 $d(y, z) < M/2$. 삼각부등식에 의해
이는 $z \in E$에 대해 $d(z, x_0) < M$임에 모순.
If $E \subset X$ is bounded, then $\overline{E}$ is bounded.
$d(x, x_0) < M$ for $x \in E$. Suppose $\overline{E}$ not bounded: $\exists y \in \overline{E}$ with $d(y, x_0) \geq 2M$. As $\overline{E} = E \cup E'$ and $y \notin E$ (else $d(y, x_0) < M$), $y \in E'$. Choose $z \in E$ with $d(y, z) < M/2$. Then $d(z, x_0) \geq d(x_0, y) - d(y, z) \geq 3M/2 > M$ — contradiction. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $E \subset X$, $p \in X$라 하자. $p \in \overline{E}$이면 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $q \in E$가 존재하여 $d(p, q) < \varepsilon$.
$\varepsilon > 0$을 주자. $p \in \overline{E} = E \cup E'$이므로 두 경우를 생각한다.
(Case 1) $p \in E$. $q := p$로 놓으면 $d(p, q) = 0 < \varepsilon$.
(Case 2) $p \in E'$. $p$가 $E$의 극한점이므로 $q \in N_\varepsilon(p)$ ($q \neq p$, $q \in E$)가 존재. 따라서 $d(p, q) < \varepsilon$.
If $p \in \overline{E}$, then for every $\varepsilon > 0$ there exists $q \in E$ with $d(p, q) < \varepsilon$.
$\overline{E} = E \cup E'$. If $p \in E$, take $q = p$. If $p \in E'$, $p$ is a limit point, so $\exists q \in N_\varepsilon(p) \cap E$ with $q \neq p$, giving $d(p, q) < \varepsilon$. $\square$
$(X,d)$가 거리 공간, $\{p_n\}$이 $X$ 안의 수열이라 하자. $X$가 콤팩트이고 $\{p_n\}$이 코시 수열이면 $\{p_n\}$은 수렴한다. 즉, 콤팩트 거리 공간에서 모든 코시 수열은 수렴한다.
$E_n := \{p_n, p_{n+1}, p_{n+2}, \ldots\}$로 정의한다. THM 2.51에 의해 $\overline{E_n}$은 닫힘. $X$가 콤팩트이므로 THM 2.65에 의해 $\overline{E_n}$은 콤팩트. 또한 $\overline{E_n} \supset \overline{E_{n+1}}$ ($\forall n$).
COR 2.70에 의해 $\bigcap_{n=1}^\infty \overline{E_n} \neq \emptyset$이므로 $p \in \bigcap_{n=1}^\infty \overline{E_n}$을 택한다.
$\varepsilon > 0$을 주자. $\{p_n\}$이 코시이므로 $N$이 존재하여 $n, m \geq N$이면 $d(p_n, p_m) < \varepsilon/2$.
$p \in \overline{E_N}$이므로 LEM 3.25에 의해 $p_{n_0} \in E_N$ ($n_0 \geq N$)이 존재하여 $d(p, p_{n_0}) < \varepsilon/2$. 모든 $n \geq N$에 대해
따라서 $\lim p_n = p$.
Let $(X,d)$ be a metric space and $\{p_n\}$ a sequence in $X$. If $X$ is compact and $\{p_n\}$ is Cauchy, then $\{p_n\}$ converges.
Define $E_n := \{p_n, p_{n+1}, \ldots\}$. $\overline{E_n}$ is closed (THM 2.51), hence compact (THM 2.65 in compact $X$), and $\overline{E_n} \supset \overline{E_{n+1}}$. By COR 2.70, $\bigcap \overline{E_n} \neq \emptyset$; choose $p$ in the intersection.
Given $\varepsilon > 0$, Cauchy gives $N$ with $d(p_n, p_m) < \varepsilon/2$ for $n, m \geq N$. Since $p \in \overline{E_N}$, LEM 3.25 gives $p_{n_0} \in E_N$ ($n_0 \geq N$) with $d(p, p_{n_0}) < \varepsilon/2$. Then for $n \geq N$: $d(p, p_n) \leq d(p, p_{n_0}) + d(p_{n_0}, p_n) < \varepsilon$. $\square$
$k \in \mathbb{N}$이고 $\{p_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 코시 수열이면 $\{p_n\}$은 수렴한다. 즉, $\mathbb{R}^k$ 안의 모든 코시 수열은 수렴한다.
Every Cauchy sequence in $\mathbb{R}^k$ converges.
모든 코시 수열이 수렴하는 거리 공간을 완비(complete)라 한다.
A metric space in which every Cauchy sequence converges is said to be complete.
THM 3.27에 의해 모든 콤팩트 거리 공간은 완비이다. COR 3.30에 의해 $\mathbb{R}^k$는 완비 거리 공간이다. 그러나 유리수계 $\mathbb{Q}$는 완비 거리 공간이 아니다.
By THM 3.27 every compact metric space is complete. By COR 3.30 $\mathbb{R}^k$ is complete. However $\mathbb{Q}$ is not complete.
상·하극한 · Upper and Lower Limits
$\{a_n\}$을 $\mathbb{R}$ 안의 수열이라 하자. 다음을 정의한다:
Let $\{a_n\}$ be a sequence in $\mathbb{R}$. Define $\limsup a_n := \inf_{k \geq 1}\{\sup_{n \geq k} a_n\}$ and $\liminf a_n := \sup_{k \geq 1}\{\inf_{n \geq k} a_n\}$.
$\limsup a_n$과 $\liminf a_n$은 확장 실수계 $\overline{\mathbb{R}}$ ($= \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$)에서 항상 존재한다. 왜냐하면 $\overline{\mathbb{R}}$에서 모든 $A \subset \overline{\mathbb{R}}$의 $\sup A$, $\inf A$가 존재하기 때문이다.
$\limsup a_n$ and $\liminf a_n$ always exist in the extended real number system $\overline{\mathbb{R}}$ since $\sup A, \inf A$ exist in $\overline{\mathbb{R}}$ for any $A \subset \overline{\mathbb{R}}$.
$A \subset \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$이라 하자.
(a) $\sup A \in \mathbb{R}$이면 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $a \in A$가 존재하여 $\sup A - \varepsilon < a$.
(b) $\inf A \in \mathbb{R}$이면 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $b \in A$가 존재하여 $b < \inf A + \varepsilon$.
(a)만 증명 (b는 대칭). $\varepsilon > 0$을 주고, $\sup A - \varepsilon < a$인 $a \in A$가 없다고 하자. 그러면 모든 $a \in A$에 대해 $\sup A - \varepsilon \geq a$. 이는 $\sup A - \varepsilon$이 $A$의 상계라는 뜻. $\sup A$는 최소 상계이므로 $\sup A \leq \sup A - \varepsilon$, 모순.
Let $A \subset \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$. (a) If $\sup A \in \mathbb{R}$, for every $\varepsilon > 0$ $\exists a \in A$ with $\sup A - \varepsilon < a$. (b) If $\inf A \in \mathbb{R}$, for every $\varepsilon > 0$ $\exists b \in A$ with $b < \inf A + \varepsilon$.
(a) If no such $a$, then $\sup A - \varepsilon \geq a$ for all $a \in A$, so $\sup A - \varepsilon$ is an upper bound. But $\sup A$ is the least upper bound, giving $\sup A \leq \sup A - \varepsilon$ — contradiction. $\square$
$\{a_n\}$이 $\mathbb{R}$ 안의 수열이라 하자.
(a) $\limsup_{n\to\infty} a_n \in \mathbb{R}$이면, 부분수열 $\{a_{n_k}\}$가 존재하여 $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = \limsup_{n\to\infty} a_n$.
(b) $\liminf_{n\to\infty} a_n \in \mathbb{R}$이면, 부분수열 $\{a_{n_k}\}$가 존재하여 $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = \liminf_{n\to\infty} a_n$.
(a)만 증명한다. $L := \limsup a_n = \inf_{k\geq 1}\{\sup_{n\geq k} a_n\}$.
LEM 3.37에 의해 $K_1 \in \mathbb{N}$이 존재하여 $\sup_{n \geq K_1}\{a_n\} < L + 1$. 다시 LEM 3.37로 $n_1 \geq K_1$이 존재하여 $\sup_{n \geq K_1}\{a_n\} - 1 \leq a_{n_1}$. 따라서
유사하게 $\tilde K_2 \in \mathbb{N}$이 존재하여 $\sup_{n \geq \tilde K_2}\{a_n\} < L + 1/2$. $K_2 := \max\{\tilde K_2, n_1\} + 1$로 놓으면 $\sup_{n \geq K_2}\{a_n\} \leq \sup_{n \geq \tilde K_2}\{a_n\} < L + 1/2$이고 $K_2 > n_1$. LEM 3.37로 $n_2 \geq K_2$가 존재하여 $\sup_{n \geq K_2}\{a_n\} - 1/2 \leq a_{n_2}$. 즉
귀납적으로 $n_1 < n_2 < \cdots$가 존재하여 모든 $k$에 대해 $|a_{n_k} - L| \leq 1/k$. $1/k \to 0$이므로 $\lim a_{n_k} = L$.
Let $\{a_n\}$ be in $\mathbb{R}$. (a) If $\limsup a_n \in \mathbb{R}$, $\exists$ subsequence $a_{n_k}$ with $\lim a_{n_k} = \limsup a_n$. (b) Similarly for $\liminf$.
Set $L = \limsup a_n$. By LEM 3.37, pick $K_1$ with $\sup_{n \geq K_1} a_n < L + 1$, then $n_1 \geq K_1$ with $\sup_{n \geq K_1} a_n - 1 \leq a_{n_1}$, giving $L - 1 \leq a_{n_1} \leq L + 1$.
Choose $\tilde K_2$ with $\sup_{n \geq \tilde K_2} a_n < L + 1/2$; set $K_2 = \max\{\tilde K_2, n_1\} + 1$. Pick $n_2 \geq K_2$ (so $n_2 > n_1$) with $|a_{n_2} - L| \leq 1/2$. Inductively, $n_1 < n_2 < \cdots$ with $|a_{n_k} - L| \leq 1/k$, so $\lim a_{n_k} = L$. $\square$
$\{a_n\}$이 $\mathbb{R}$ 안의 수열이고 수렴하면 $\limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty} a_n$.
$a := \lim a_n$으로 놓자. 모든 부분수열은 $a$에 수렴한다. THM 3.4(c)에 의해 $\{a_n\}$은 유계이므로 $-M \leq a_n \leq M$인 $M > 0$이 존재. 따라서
THM 3.39로 부분수열 $\{a_{n_k}\}$, $\{a_{\tilde n_k}\}$가 존재하여 $\lim a_{n_k} = \limsup a_n$, $\lim a_{\tilde n_k} = \liminf a_n$. 모든 부분수열이 $a$에 수렴하므로
If $\{a_n\}$ in $\mathbb{R}$ converges, then $\limsup a_n = \liminf a_n$.
Put $a = \lim a_n$. Every subsequence converges to $a$. By THM 3.4(c), $\{a_n\}$ is bounded in $[-M, M]$, hence so are $\limsup, \liminf$. By THM 3.39, a subsequence achieves $\limsup$ (and another $\liminf$); both limits equal $a$. $\square$
$\mathbb{R}$ 안의 수열 $\{a_n\}$이 다음을 만족하면:
(1) 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n \leq a_{n+1}$ → 단조증가(monotonic increasing)
(2) 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n \geq a_{n+1}$ → 단조감소(monotonic decreasing)
(3) $\{a_n\}$이 단조증가 또는 단조감소 → 단조(monotonic)
A sequence $\{a_n\}$ in $\mathbb{R}$ is monotonic increasing if $a_n \leq a_{n+1}$ for all $n$; monotonic decreasing if $a_n \geq a_{n+1}$ for all $n$; monotonic if either holds.
급수 · Series
$k \in \mathbb{N}$이고 $\{a_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 수열이라 하자. 양의 정수 $n \leq m$에 대해
수열 $\{s_n\}$을 부분합(partial sums)이라 한다.
• $s_n$이 $s \in \mathbb{R}^k$로 수렴하면 $\sum_{n=1}^\infty a_n = s$로 쓰고, 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 $s$로 수렴한다고 한다.
• 급수 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$이 수렴하면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 절대수렴(absolutely converges)한다고 한다.
• $k \in \mathbb{N}$에 대해, $n \to \infty$일 때 $\tilde s_n := s_{k+n} - s_k$가 $s$로 수렴하면 $\sum_{i=k+1}^\infty a_n = s$로 쓴다.
For $\{a_n\}$ in $\mathbb{R}^k$, $\sum_{k=n}^m a_k := a_n + \cdots + a_m$ and partial sums $s_n := a_1 + \cdots + a_n$. If $s_n \to s$, write $\sum_{n=1}^\infty a_n = s$; the series converges. If $\sum |a_n|$ converges, $\sum a_n$ absolutely converges. For $k \in \mathbb{N}$, $\sum_{i=k+1}^\infty a_n = s$ iff $\tilde s_n := s_{k+n} - s_k \to s$.
$\{a_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 수열이라 하자. 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 수렴할 필요충분조건은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 양의 정수 $N$이 존재하여 모든 $m \geq n \geq N$에 대해
급수의 수렴 정의에 의해 $\sum a_n$이 수렴 $\iff$ 부분합 $\{s_n\}$이 수렴. $\mathbb{R}^k$가 완비(COR 3.30)이므로 $\{s_n\}$이 수렴 $\iff$ $\{s_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 코시 수열.
$\{s_n\}$이 코시일 조건은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $N$이 존재하여 모든 $m \geq n \geq N$에 대해 $|s_m - s_{n-1}| < \varepsilon$이며, 이는 $\left|\sum_{k=n}^m a_k\right| < \varepsilon$과 동치.
$\sum a_n$ converges iff for every $\varepsilon > 0$ $\exists N$ such that $\left| \sum_{k=n}^m a_k \right| < \varepsilon$ for all $m \geq n \geq N$.
$\sum a_n$ converges iff $\{s_n\}$ converges iff $\{s_n\}$ is Cauchy (since $\mathbb{R}^k$ complete by COR 3.30). Cauchy $\iff$ $\left|\sum_{k=n}^m a_k\right| < \varepsilon$. $\square$
$\{a_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 수열이고 $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 절대수렴하면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 수렴한다.
$\sum |a_n|$이 수렴이므로 THM 3.47에 의해 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $N$이 존재하여 $m \geq n \geq N$에서 $\sum_{k=n}^m |a_k| < \varepsilon$. 삼각부등식에 의해
다시 THM 3.47에 의해 $\sum a_n$이 수렴.
If $\sum a_n$ absolutely converges, it converges.
By THM 3.47 applied to $\sum |a_n|$, $\sum_{k=n}^m |a_k| < \varepsilon$. Triangle inequality: $|\sum_{k=n}^m a_k| \leq \sum |a_k| < \varepsilon$. Apply THM 3.47 again. $\square$
$\{a_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 수열, $\{k_n\}$이 $\mathbb{N}$ 안의 수열이고 사상 $k_n : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$이 1-1 대응이라 하자. $a'_n := a_{k_n}$으로 놓으면 급수 $\sum_{n=1}^\infty a'_n$을 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 재배열(rearrangement)이라 한다.
직관적으로 재배열은 항 $a_n$들의 순서를 바꾸는 합이다.
Let $\{a_n\}$ be a sequence in $\mathbb{R}^k$ and $\{k_n\}$ a sequence in $\mathbb{N}$ with $k_n : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ bijective. Put $a'_n := a_{k_n}$. The series $\sum a'_n$ is a rearrangement of $\sum a_n$.
$\{a_n\}$이 $\mathbb{R}^k$ 안의 수열이고 $s \in \mathbb{R}^k$라 하자. $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 절대수렴하고 $\sum_{n=1}^\infty a_n = s$이면, $\sum a_n$의 모든 재배열 $\sum_{n=1}^\infty a'_n$ 또한 $s$로 수렴한다.
$\sum a'_n$을 재배열이라 하고 $\{k_n\}$이 1-1 대응이라 하자. $\varepsilon > 0$을 주자. $\sum a_n$이 절대수렴하므로 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여
$k_n$이 전단사이므로 $k_{n_1} = 1, k_{n_2} = 2, \ldots, k_{n_N} = N$인 서로 다른 $n_1, \ldots, n_N$이 존재. $M := \max\{n_1, \ldots, n_N\}$로 놓으면 $\{a_1, \ldots, a_N\} = \{a'_{n_1}, \ldots, a'_{n_N}\} \subset \{a'_1, \ldots, a'_M\}$.
모든 $k \geq M$에 대해
(항 $a_1,\ldots,a_N$은 양쪽에서 상쇄; 남는 항은 모두 $|a_n|$ ($n \geq N+1$)으로 bound됨.)
If $\sum a_n$ absolutely converges to $s$, then every rearrangement $\sum a'_n$ also converges to $s$.
Given $\varepsilon > 0$, pick $N$ with $|\sum_{n=1}^N a_n - s| \leq \sum_{n=N+1}^\infty |a_n| < \varepsilon$. Since $k_n$ is bijective, there are $n_1,\ldots,n_N$ with $k_{n_i}=i$. Set $M = \max n_i$. For $k \geq M$, $\{a_1,\ldots,a_N\} \subset \{a'_1,\ldots,a'_M\}$, so $|\sum_{n=1}^k a'_n - s| \leq \sum_{n=N+1}^\infty |a_n| < \varepsilon$. $\square$
유한합에서는 항의 순서가 중요하지 않지만, 무한합(급수)에서는 중요할 수 있다. 예를 들어
이지만 홀수 항을 먼저 모으면
THM 3.52에 의해 $\sum a_n$이 절대수렴하는 경우에는 항의 순서를 자유롭게 바꿔도 합이 같다. 특히 모든 $a_n$이 비음수이면 재배열이 자유롭다.
Orders of finite summation don't matter, but orders of infinite summation can: $1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - \cdots = 1$, but collecting odd terms first gives $1 + 1/2 + 1/3 + \cdots = \infty$. THM 3.52 says one can reorder freely if $\sum a_n$ absolutely converges; in particular for non-negative terms.